La ecuación de Schrödinger

La ecuación de Schrödinger fue desarrollada por el físico austríaco Erwin Schrödinger en 1925. Describe la evolución temporal de una partícula masiva no relativista. Es de importancia central en la teoría de la mecánica cuántica, donde representa para las partículas microscópicas un papel análogo a la segunda ley de Newton en la mecánica clásica. Las partículas microscópicas incluyen a las partículas elementales, tales como electrones, así como sistemas de partículas, tales como núcleos atómicos.

ECUACIÓN DE ONDA

Se mide por la frecuencia, es decir, por el número de ciclos u oscilaciones que tiene por segundo. La unidad de frecuencia es el hertz (Hz), que equivale a un ciclo por segundo.
Una onda es una perturbación que avanza o que se propaga en un medio material o incluso en el vacío. A pesar de la naturaleza diversa de las perturbaciones que pueden originarlas, todas las ondas tienen un comportamiento semejante. El sonido es un tipo de onda que se propaga únicamente en presencia de un medio que haga de soporte de la perturbación.
Algunas clases de ondas precisan para propagarse de la existencia de un medio material que haga el papel de soporte de la perturbación; se denominan genéricamente ondas mecánicas. El sonido, las ondas que se forman en la superficie del agua, las ondas en cuerdas, son algunos ejemplos de ondas mecánicas y corresponden a compresiones, deformaciones y, en general, a perturbaciones del medio que se propagan a través suyo. Sin embargo, existen ondas que pueden propasarse aun en ausencia de medio material, es decir, en el vacío. Son lasondas electromagnéticas o campos electromagnéticos viajeros; a esta segunda categoría pertenecen las ondas luminosas.
Independientemente de esta diferenciación, existen ciertas características que son comunes a todas las ondas, cualquiera que sea su naturaleza, y que en conjunto definen el llamado comportamiento ondulatorio,
El tipo de movimiento característico de las ondas se denomina movimiento ondulatorio. Su propiedad esencial es que no implica un transporte de materia de un punto a otro. Las partículas constituyentes del medio se desplazan relativamente poco respecto de su posición de equilibrio. Lo que avanza y progresa no son ellas, sino la perturbación que transmiten unas a otras. El movimiento ondulatorio supone únicamente un transporte de energía y de cantidad de movimiento.

Junto a una primera clasificación de las ondas en mecánicas y electromagnéticas, es posible distinguir diferentes tipos de ondas atendiendo a criterios distintos. En relación con su ámbito de propagación las ondas pueden clasificarse en:

· Monodimensionales: Son aquellas que, como las ondas en los muelles o en las cuerdas, se propagan a lo largo de una sola dirección del espacio.

· Bidimensionales: Se propagan en cualquiera de las direcciones de un plano de una superficie. Se denominan también ondas superficiales y a este grupo pertenecen las ondas que se producen en la superficie de un lago cuando se deja caer una piedra sobre él. Atendiendo a la periodicidad de la perturbación local que las origina, las ondas se clasifican en:

· Periódicas: Corresponden a la propagación de perturbaciones de características periódicas, como vibraciones u oscilaciones que suponen variaciones repetitivas de alguna propiedad. Así, en una cuerda unida por uno de sus extremos a un vibrador se propagará una onda periódica.

· No periódicas: La perturbación que las origina se da aisladamente y en el caso de que se repita, las perturbaciones sucesivas tienen características diferentes. Las ondas aisladas, como en el caso de las fichas de dominó, se denominan también pulsos. Según que la dirección de propagación coincida o no con la dirección en la que se produce la perturbación, las ondas pueden ser:

· Longitudinales: El movimiento local del medio alcanzado por la perturbación se efectúa en la dirección de avance de la onda. Un muelle que se comprime da lugar a una onda longitudinal.

· Transversales: La perturbación del medio se lleva a cabo en dirección perpendicular a la de propagación. En las ondas producidas en la superficie del agua las partículas vibran de arriba a abajo y viceversa, mientras que el movimiento ondulatorio progresa en el plano perpendicular. Lo mismo sucede en el caso de una cuerda; cada punto vibra en vertical, pero la perturbación avanza según la dirección de la línea horizontal. Ambas son ondas transversales.

Ondas Transversales y longitudinales
Imaginémonos ahora una cuerda larga y elástica. Si en un extremo le proporcionamos una sacudida brusca perpendicular a la propia cuerda, originamos una perturbación que se va propagando a cierta velocidad hacia el otro extremo. No hay ningún trozo de cuerda que se desplace a esa velocidad, es la energía y la cantidad de movimiento la que se desplaza a través de la cuerda sin que la transporte ningún objeto. Igualmente, si a un muelle largo le aplicamos una serie de sacudidas en un extremo, originamos oscilaciones que se propagan a través de él. Como se aprecia en todos estos ejemplos, en el estudio de la propagación de las ondas debemos distinguir dos movimientos diferentes: el movimiento de la propia onda a través del espacio y el movimiento originado por la perturbación que se propaga. Es decir, entre el movimiento de la ola y el del agua, entre el desplazamiento de la sacudida a lo largo de la cuerda y el movimiento perpendicular de los trozos de cuerda cuando los alcanza la sacudida, entre la propagación de las oscilaciones a lo largo del muelle y las propias oscilaciones de las espiras.

Transversales:

FUNCIÓN GAMA

El modelo gamma está definido por la función de probabilidad

siendo G(a) la función gamma, definida como:

Como G(1) = 1, la función de probabilidad gamma cuando a = 1 es la EXPONENCIAL. Otro caso particular de esta función es t = 1/2 y a = r/2, siendo r un número natural, que recibe el nombre de ji-cuadrado con r grados de libertad. Del mismo modo que la variable “tiempo hasta que ocurra el primer evento” de un proceso es de Poisson es exponencial, la variable “tiempo hasta que ocurra el evento k-ésimo” es gamma con a = k.

La estimación de esta función sólo es sencilla en el caso de que no haya pérdidas y ésta es la que implementa el presta.

MUESTRA DE VIDEO

FUNCIONES DE BESSEL

El matemático Daniel Bernoulli y más tarde generalizadas por Friedrich Bessel, son soluciones canónicas y(x) de la ecuación diferencial de Bessel, las cuales son conocidas como las funciones de Bessel:

x²d²y/dx² + xdy/dx + ( x² - α² )y=0 (1)

donde α es un número real o complejo. El caso más común es cuando α es un entero n, aunque la solución para α no enteros es similar. El número α se denomina orden de las funciones de Bessel asociadas a dicha ecuación.

Dado que la ecuación anterior es una ecuación diferencial de segundo orden, tiene dos soluciones linealmente independientes.

Aplicaciones

La Ecuación de Bessel aparece cuando se buscan soluciones a la ecuación de Laplace o a la ecuación de Helmholtz por el método de separación de variables en coordenadas cilíndricas o esféricas. Por ello, las funciones de Bessel son especialmente importantes en muchos problemas de propagación de ondas, potenciales estáticos y cualquier otro problema descrito por las ecuaciones de Helmoltz o Laplace en simetrías cilíndricas o esféricas. Cuando se resuelven sistemas en coordenadas cilíndricas, se obtienen funciones de Bessel de orden entero (α = n) y en problemas resueltos en coordenadas esféricas, se obtienen funciones de Bessel de orden semientero (α = n + 1 / 2), por ejemplo:
• Ondas electromagnéticas en guías de onda cilíndricas.

• Modos transversales electromagnéticos en guías ópticas.

• Conducción del calor en objetos cilíndricos.

• Modos de vibración de una membrana delgada circular (o con forma de anillo).

• Difusión en una red.

También se usan funciones de Bessel en otro tipo de problemas como en procesado de señales.

Funciones de Bessel ordinarias

Las funciones de Bessel ordinarias de orden α, llamadas simplemente funciones de Bessel de orden α son soluciones de la ecuación de Bessel (1). Existen dos formas simples de expresar la solución general de la ecuación diferencial de Bessel con parámetro α, que están asociadas a las funciones de Bessel ordinarias de primera y de segunda especie.

FIGURA DE BESSEL

ECUACIÓN DE CALOR

La ecuación del calor modela la distribución de la temperatura en una barra delgada de longitud fija L. En esta práctica, estudiaremos dicha ecuación con condiciones de contorno homogéneas y no homogénas. En ambos casos, la distribución inicial de la temperatura vendrá dada por una función .

POLINOMIOS DE LAGUERRE

Los polinomios de Laguerre son una familia de polinomios ortogonales, llamados así en honor de Edmond Laguerre, surgen al examinar las soluciones a la ecuación diferencial:

Xy``+(1-x) y`+ny= 0

Desarrollando y en serie de potencias se obtiene una relación de recurrencia entre coeficientes consecutivos como la que sigue:

Ak+1=k-n/(k+1)^2*ak, k=0,1,2,….; y(x)=∑ak x^k k=0

Puede verse que siempre que n sea natural se anula el coeficiente de toda potencia mayor (y distinta) que n. Esto es, una de las soluciones linealmente independientes es un polinomio de grado n (polinomio de laguerre de orden n, que notaremos por L_n(x)). Para encontrar la otra solución linealmente independiente han de estudiarse las soluciones de la ecuación más general y''(x) + p(x)y'(x) + q(x)y(x) = 0.

ECUACIÓN DE RICATTI

ECUACION DE RICTII

La ecuación de Riccati es una ecuación diferencial ordinaria desarrollada en el siglo XVIII por el matemático italiano Jacopo Francesco Riccati, con el fin de analizar la hidrodinámica.

Corresponde a una ecuación de la forma:

dy/dx+p(x)y+q(x)y^2=f(x)

Esta ecuación se resuelve si previamente se conoce una solución particular, digamos y1(x)

Conocida dicha solución, se hace el cambio:

Y(x) = z(x) + y1 (x)

y reemplazando, se obtiene:

dy/dx=-p(x)y-q(x)y^2+f(x) =dz(x)/dx+dy1/dx

es decir:

-p(x)y-q(x)y^2+ f(X)=dz/dx-p(x)y1(x)-q(x)y1(x^2)+f(x)

dz/dx=p(x)(y1-y)+q(x)(y1^2-y^2)

lo que equivale a:

dz/dx=-p(x)z-q(x)(z^2+2zy1)

dz/dx=(-p(x)+2q(x)y1(x))z-q(x)z^2

que corresponde a una ecuación diferencial de Bernoulli.

Obsérvese que si se hace el cambio

Y(X) = Y1(X) +1/z(x)

esto nos lleva directamente a una ecuación lineal diferencial de primer orden.

pequeña explicación de ricatti