viernes, 2 de diciembre de 2011

La ecuación de Schrödinger

La ecuación de Schrödinger fue desarrollada por el físico austríaco Erwin Schrödinger en 1925. Describe la evolución temporal de una partícula masiva no relativista. Es de importancia central en la teoría de la mecánica cuántica, donde representa para las partículas microscópicas un papel análogo a la segunda ley de Newton en la mecánica clásica. Las partículas microscópicas incluyen a las partículas elementales, tales como electrones, así como sistemas de partículas, tales como núcleos atómicos.

ECUACIÓN DE ONDA

Se mide por la frecuencia, es decir, por el número de ciclos u oscilaciones que tiene por segundo. La unidad de frecuencia es el hertz (Hz), que equivale a un ciclo por segundo.
Una onda es una perturbación que avanza o que se propaga en un medio material o incluso en el vacío. A pesar de la naturaleza diversa de las perturbaciones que pueden originarlas, todas las ondas tienen un comportamiento semejante. El sonido es un tipo de onda que se propaga únicamente en presencia de un medio que haga de soporte de la perturbación.
Algunas clases de ondas precisan para propagarse de la existencia de un medio material que haga el papel de soporte de la perturbación; se denominan genéricamente ondas mecánicas. El sonido, las ondas que se forman en la superficie del agua, las ondas en cuerdas, son algunos ejemplos de ondas mecánicas y corresponden a compresiones, deformaciones y, en general, a perturbaciones del medio que se propagan a través suyo. Sin embargo, existen ondas que pueden propasarse aun en ausencia de medio material, es decir, en el vacío. Son lasondas electromagnéticas o campos electromagnéticos viajeros; a esta segunda categoría pertenecen las ondas luminosas.
Independientemente de esta diferenciación, existen ciertas características que son comunes a todas las ondas, cualquiera que sea su naturaleza, y que en conjunto definen el llamado comportamiento ondulatorio,
El tipo de movimiento característico de las ondas se denomina movimiento ondulatorio. Su propiedad esencial es que no implica un transporte de materia de un punto a otro. Las partículas constituyentes del medio se desplazan relativamente poco respecto de su posición de equilibrio. Lo que avanza y progresa no son ellas, sino la perturbación que transmiten unas a otras. El movimiento ondulatorio supone únicamente un transporte de energía y de cantidad de movimiento.

Junto a una primera clasificación de las ondas en mecánicas y electromagnéticas, es posible distinguir diferentes tipos de ondas atendiendo a criterios distintos. En relación con su ámbito de propagación las ondas pueden clasificarse en:

· Monodimensionales: Son aquellas que, como las ondas en los muelles o en las cuerdas, se propagan a lo largo de una sola dirección del espacio.

· Bidimensionales: Se propagan en cualquiera de las direcciones de un plano de una superficie. Se denominan también ondas superficiales y a este grupo pertenecen las ondas que se producen en la superficie de un lago cuando se deja caer una piedra sobre él. Atendiendo a la periodicidad de la perturbación local que las origina, las ondas se clasifican en:

· Periódicas: Corresponden a la propagación de perturbaciones de características periódicas, como vibraciones u oscilaciones que suponen variaciones repetitivas de alguna propiedad. Así, en una cuerda unida por uno de sus extremos a un vibrador se propagará una onda periódica.

· No periódicas: La perturbación que las origina se da aisladamente y en el caso de que se repita, las perturbaciones sucesivas tienen características diferentes. Las ondas aisladas, como en el caso de las fichas de dominó, se denominan también pulsos. Según que la dirección de propagación coincida o no con la dirección en la que se produce la perturbación, las ondas pueden ser:

· Longitudinales: El movimiento local del medio alcanzado por la perturbación se efectúa en la dirección de avance de la onda. Un muelle que se comprime da lugar a una onda longitudinal.

· Transversales: La perturbación del medio se lleva a cabo en dirección perpendicular a la de propagación. En las ondas producidas en la superficie del agua las partículas vibran de arriba a abajo y viceversa, mientras que el movimiento ondulatorio progresa en el plano perpendicular. Lo mismo sucede en el caso de una cuerda; cada punto vibra en vertical, pero la perturbación avanza según la dirección de la línea horizontal. Ambas son ondas transversales.




Ondas Transversales y longitudinales
Imaginémonos ahora una cuerda larga y elástica. Si en un extremo le proporcionamos una sacudida brusca perpendicular a la propia cuerda, originamos una perturbación que se va propagando a cierta velocidad hacia el otro extremo. No hay ningún trozo de cuerda que se desplace a esa velocidad, es la energía y la cantidad de movimiento la que se desplaza a través de la cuerda sin que la transporte ningún objeto. Igualmente, si a un muelle largo le aplicamos una serie de sacudidas en un extremo, originamos oscilaciones que se propagan a través de él. Como se aprecia en todos estos ejemplos, en el estudio de la propagación de las ondas debemos distinguir dos movimientos diferentes: el movimiento de la propia onda a través del espacio y el movimiento originado por la perturbación que se propaga. Es decir, entre el movimiento de la ola y el del agua, entre el desplazamiento de la sacudida a lo largo de la cuerda y el movimiento perpendicular de los trozos de cuerda cuando los alcanza la sacudida, entre la propagación de las oscilaciones a lo largo del muelle y las propias oscilaciones de las espiras.

Transversales:






FUNCIÓN GAMA

El modelo gamma está definido por la función de probabilidad

siendo G(a) la función gamma, definida como:

Como G(1) = 1, la función de probabilidad gamma cuando a = 1 es la EXPONENCIAL. Otro caso particular de esta función es t = 1/2 y a = r/2, siendo r un número natural, que recibe el nombre de ji-cuadrado con r grados de libertad. Del mismo modo que la variable “tiempo hasta que ocurra el primer evento” de un proceso es de Poisson es exponencial, la variable “tiempo hasta que ocurra el evento k-ésimo” es gamma con a = k.

La estimación de esta función sólo es sencilla en el caso de que no haya pérdidas y ésta es la que implementa el presta.








MUESTRA DE VIDEO

FUNCIONES DE BESSEL

El matemático Daniel Bernoulli y más tarde generalizadas por Friedrich Bessel, son soluciones canónicas y(x) de la ecuación diferencial de Bessel, las cuales son conocidas como las funciones de Bessel:

x²d²y/dx² + xdy/dx + ( x² - α² )y=0 (1)

donde α es un número real o complejo. El caso más común es cuando α es un entero n, aunque la solución para α no enteros es similar. El número α se denomina orden de las funciones de Bessel asociadas a dicha ecuación.

Dado que la ecuación anterior es una ecuación diferencial de segundo orden, tiene dos soluciones linealmente independientes.

Aplicaciones

La Ecuación de Bessel aparece cuando se buscan soluciones a la ecuación de Laplace o a la ecuación de Helmholtz por el método de separación de variables en coordenadas cilíndricas o esféricas. Por ello, las funciones de Bessel son especialmente importantes en muchos problemas de propagación de ondas, potenciales estáticos y cualquier otro problema descrito por las ecuaciones de Helmoltz o Laplace en simetrías cilíndricas o esféricas. Cuando se resuelven sistemas en coordenadas cilíndricas, se obtienen funciones de Bessel de orden entero (α = n) y en problemas resueltos en coordenadas esféricas, se obtienen funciones de Bessel de orden semientero (α = n + 1 / 2), por ejemplo:
• Ondas electromagnéticas en guías de onda cilíndricas.

• Modos transversales electromagnéticos en guías ópticas.

• Conducción del calor en objetos cilíndricos.

• Modos de vibración de una membrana delgada circular (o con forma de anillo).

• Difusión en una red.

También se usan funciones de Bessel en otro tipo de problemas como en procesado de señales.

Funciones de Bessel ordinarias

Las funciones de Bessel ordinarias de orden α, llamadas simplemente funciones de Bessel de orden α son soluciones de la ecuación de Bessel (1). Existen dos formas simples de expresar la solución general de la ecuación diferencial de Bessel con parámetro α, que están asociadas a las funciones de Bessel ordinarias de primera y de segunda especie.








FIGURA DE BESSEL


jueves, 1 de diciembre de 2011

ECUACIÓN DE CALOR

La ecuación del calor [Graphics:images/eqcalor_gr_1.gif] modela la distribución de la temperatura [Graphics:images/eqcalor_gr_2.gif] en una barra delgada de longitud fija L. En esta práctica, estudiaremos dicha ecuación con condiciones de contorno homogéneas y no homogénas. En ambos casos, la distribución inicial de la temperatura vendrá dada por una función [Graphics:images/eqcalor_gr_3.gif].










POLINOMIOS DE LAGUERRE

Los polinomios de Laguerre son una familia de polinomios ortogonales, llamados así en honor de Edmond Laguerre, surgen al examinar las soluciones a la ecuación diferencial:

Xy``+(1-x) y`+ny= 0

Desarrollando y en serie de potencias se obtiene una relación de recurrencia entre coeficientes consecutivos como la que sigue:

Ak+1=k-n/(k+1)^2*ak, k=0,1,2,….; y(x)=∑ak x^k k=0

Puede verse que siempre que n sea natural se anula el coeficiente de toda potencia mayor (y distinta) que n. Esto es, una de las soluciones linealmente independientes es un polinomio de grado n (polinomio de laguerre de orden n, que notaremos por Ln(x)). Para encontrar la otra solución linealmente independiente han de estudiarse las soluciones de la ecuación más general y''(x) + p(x)y'(x) + q(x)y(x) = 0.

ECUACIÓN DE RICATTI

ECUACION DE RICTII

La ecuación de Riccati es una ecuación diferencial ordinaria desarrollada en el siglo XVIII por el matemático italiano Jacopo Francesco Riccati, con el fin de analizar la hidrodinámica.

Corresponde a una ecuación de la forma:

dy/dx+p(x)y+q(x)y^2=f(x)

Esta ecuación se resuelve si previamente se conoce una solución particular, digamos y1(x)

Conocida dicha solución, se hace el cambio:

Y(x) = z(x) + y1 (x)

y reemplazando, se obtiene:

dy/dx=-p(x)y-q(x)y^2+f(x) =dz(x)/dx+dy1/dx

es decir:

-p(x)y-q(x)y^2+ f(X)=dz/dx-p(x)y1(x)-q(x)y1(x^2)+f(x)

dz/dx=p(x)(y1-y)+q(x)(y1^2-y^2)

lo que equivale a:

dz/dx=-p(x)z-q(x)(z^2+2zy1)

dz/dx=(-p(x)+2q(x)y1(x))z-q(x)z^2

que corresponde a una ecuación diferencial de Bernoulli.


Obsérvese que si se hace el cambio

Y(X) = Y1(X) +1/z(x)

esto nos lleva directamente a una ecuación lineal diferencial de primer orden.



pequeña explicación de ricatti

RESOLUCIÓN DE LA ECUACIÓN DIFERENCIAL BERNOULLI.

ECUACIÓN DIFERENCIAL DE BERNOULLI...

Los estudiantes de ciencias conocen muy bien el apellido Bernoulli. Tenemos la "serie de Bernoulli", los "números y polinomios de Bernoulli" que tienen ciertas aplicaciones en teoría de números. Hay dos "teoremas de Bernoulli". Uno en el cálculo integral y otro en la hidráulica. También reciben el nombre de "procesos Bernoulli" ciertos fenómenos probabilísticos. Uno puede sorprenderse por la fecundidad de este personaje hasta que se entera que hubo nada menos que nueve matemáticos de apellido Bernoulli, a lo largo de tres generaciones y durante los siglos XVII y XVIII. Tres de ellos se llamaron Nicolás, otros tres Juan, dos Jacobo y uno Daniel.Uno de los Jacobos, nacido en 1654, fue el autor de muchas aplicaciones del cálculo matemático creado por Newton y Leibnitz. De hecho, a él le debemos el término integral, usado en este tipo de cálculos. Muchos de sus trabajos fueron publicados por su sobrino Nicolás en 1713.Juan, un hermano de Jacobo, fue el más polémico. Se dice que intentó publicar como propios algunos trabajos robados a Jacobo. También echó de casa a su hijo Daniel, cuando obtuvo un premio de la Academia Francesa, que creía merecer.Este Daniel, justamente, fue el que enunció el teorema fundamental de la hidráulica e hizo algunos progresos en el estudio de los gases.En esos mismos años la familia Bernoulli produjo también dos pintores, un médico, un naturalista y un arqueólogo.La dinastía de los Bernoulli fue fundada por un comerciante holandés también llamado Jacobo que debió exiliarse durante la dominación española en los países bajos. En 1620 se radicó en la ciudad de Bâle, en Suiza.

ECUACIÓN DIFERENCIAL DE BERNOULLI.

Una ecuación diferencial M(x, y) dx + N(x, y) dy = 0 que mediante el algebra adecuada puede ser llevada a la forma y’ + P(x)y = Q(x)yn , se dice que es una ecuación de Bernoulli en y. Dicha ecuación posee una estructura muy similar a la lineal salvo el término yn que aparece al lado derecho.

Algunas veces al hacer un cambio de variable se logra transformar una ecuación diferencial en lineal, como el ejemplo anterior. Otra situación semejante se presenta para la ecuación de Bernoulli.

Una ecuación diferencial de primer orden que puede escribirse en la forma


Donde P(x) y Q(x) son funciones reales y continuas en un intervalo [a, b] y n es una constante real diferente de 0 y 1 se conoce como ecuación de bernoulli

Tengamos en cuenta que: cuando n=0 la ecuación de bernoulli se reduce a una ecuación separable y cuando n= 1 se trata de una ecuación lineal, casos ya estudiados.

Teorema

La ecuación de bernoulli

Se reduce a una ecuación lineal de primer orden haciendo la sustitución

u=y^1-n

¿Cómo identificar una ecuación diferencial de Bernoulli?

Debido a su estructura, la ecuación diferencial se detecta como candidata a Bernoulli si en la expresión original se observa una expresión en x con el factor y, y otra expresión también en x con el factor yn, donde n≠0 y n≠1, ambas presencias de y se dan en la expresión que acompaña a dx. Desde luego que esto implica una ecuación de Bernoulli en y, pero se pueden intercambiar los papeles de x e y y lograr una ecuación de Bernoulli en x. Aún así aplique su álgebra y lleve a la ecuación a su forma y’ + P(x)y = Q(x)yn para identificarla plenamente



QUE ES LA ECUACIÓN DIFERENCIAL

Concepto básico

Las ecuaciones diferenciales son una parcela muy importante de las matemáticas debido a que son los modelos apropiados para muchos experimentos de la vida y fenómenos de la naturaleza.

Como veremos a partir de diversos ejemplos que se montaran a lo largo de esta ayuda, las ecuaciones diferenciales poseen infinidades de aplicaciones como cocido por todos , si tenemos una función “y= f(x)”, su derivada representa la variación o ritmo de cambio de variable dependiente “ y” respecto de la independiente “ x” de esta manera , puede intuirse que en muchos fenómenos de la naturaleza se ven relacionadas las diversas variables involucradas en el proceso con sus ritmos de variación, lo cual nos lleva a relacionar las funciones con derivadas.

Por tanto, el objetivo primordial de las ecuaciones diferenciales es permitir el estudio de los cambios de multitud de aspectos de la ciencia y de a técnica.

Ecuaciones diferenciales

  • Llamemos ecuaciones diferenciales a cualquier ecuación en la que aparece relacionada.
  • Una o varias variables independientes.
  • Una variable dependiente de ella o ellas.
  • Las derivadas de esta última con respecto a una o más variables independientes.