ECUACIÓN DIFERENCIAL DE BERNOULLI...

Los estudiantes de ciencias conocen muy bien el apellido Bernoulli. Tenemos la "serie de Bernoulli", los "números y polinomios de Bernoulli" que tienen ciertas aplicaciones en teoría de números. Hay dos "teoremas de Bernoulli". Uno en el cálculo integral y otro en la hidráulica. También reciben el nombre de "procesos Bernoulli" ciertos fenómenos probabilísticos. Uno puede sorprenderse por la fecundidad de este personaje hasta que se entera que hubo nada menos que nueve matemáticos de apellido Bernoulli, a lo largo de tres generaciones y durante los siglos XVII y XVIII. Tres de ellos se llamaron Nicolás, otros tres Juan, dos Jacobo y uno Daniel.Uno de los Jacobos, nacido en 1654, fue el autor de muchas aplicaciones del cálculo matemático creado por Newton y Leibnitz. De hecho, a él le debemos el término integral, usado en este tipo de cálculos. Muchos de sus trabajos fueron publicados por su sobrino Nicolás en 1713.Juan, un hermano de Jacobo, fue el más polémico. Se dice que intentó publicar como propios algunos trabajos robados a Jacobo. También echó de casa a su hijo Daniel, cuando obtuvo un premio de la Academia Francesa, que creía merecer.Este Daniel, justamente, fue el que enunció el teorema fundamental de la hidráulica e hizo algunos progresos en el estudio de los gases.En esos mismos años la familia Bernoulli produjo también dos pintores, un médico, un naturalista y un arqueólogo.La dinastía de los Bernoulli fue fundada por un comerciante holandés también llamado Jacobo que debió exiliarse durante la dominación española en los países bajos. En 1620 se radicó en la ciudad de Bâle, en Suiza.

ECUACIÓN DIFERENCIAL DE BERNOULLI.

Una ecuación diferencial M(x, y) dx + N(x, y) dy = 0 que mediante el algebra adecuada puede ser llevada a la forma y’ + P(x)y = Q(x)yn , se dice que es una ecuación de Bernoulli en y. Dicha ecuación posee una estructura muy similar a la lineal salvo el término yn que aparece al lado derecho.

Algunas veces al hacer un cambio de variable se logra transformar una ecuación diferencial en lineal, como el ejemplo anterior. Otra situación semejante se presenta para la ecuación de Bernoulli.

Una ecuación diferencial de primer orden que puede escribirse en la forma

Donde P(x) y Q(x) son funciones reales y continuas en un intervalo [a, b] y n es una constante real diferente de 0 y 1 se conoce como ecuación de bernoulli

Tengamos en cuenta que: cuando n=0 la ecuación de bernoulli se reduce a una ecuación separable y cuando n= 1 se trata de una ecuación lineal, casos ya estudiados.

Teorema

La ecuación de bernoulli

Se reduce a una ecuación lineal de primer orden haciendo la sustitución

u=y^1-n

¿Cómo identificar una ecuación diferencial de Bernoulli?

Debido a su estructura, la ecuación diferencial se detecta como candidata a Bernoulli si en la expresión original se observa una expresión en x con el factor y, y otra expresión también en x con el factor yn, donde n≠0 y n≠1, ambas presencias de y se dan en la expresión que acompaña a dx. Desde luego que esto implica una ecuación de Bernoulli en y, pero se pueden intercambiar los papeles de x e y y lograr una ecuación de Bernoulli en x. Aún así aplique su álgebra y lleve a la ecuación a su forma y’ + P(x)y = Q(x)yn para identificarla plenamente