La ecuación de Riccati es una ecuación diferencial ordinaria desarrollada en el siglo XVIII por el matemático italiano Jacopo Francesco Riccati, con el fin de analizar la hidrodinámica.
Corresponde a una ecuación de la forma:
dy/dx+p(x)y+q(x)y^2=f(x)
Esta ecuación se resuelve si previamente se conoce una solución particular, digamos y1(x)
Conocida dicha solución, se hace el cambio:
Y(x) = z(x) + y1 (x)
y reemplazando, se obtiene:
dy/dx=-p(x)y-q(x)y^2+f(x) =dz(x)/dx+dy1/dx
es decir:
-p(x)y-q(x)y^2+ f(X)=dz/dx-p(x)y1(x)-q(x)y1(x^2)+f(x)
dz/dx=p(x)(y1-y)+q(x)(y1^2-y^2)
lo que equivale a:
dz/dx=-p(x)z-q(x)(z^2+2zy1)
dz/dx=(-p(x)+2q(x)y1(x))z-q(x)z^2
que corresponde a una ecuación diferencial de Bernoulli.
Obsérvese que si se hace el cambio
Y(X) = Y1(X) +1/z(x)
esto nos lleva directamente a una ecuación lineal diferencial de primer orden.
pequeña explicación de ricatti
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